1812年夏天的这个学期，卡尔·威特先生选修了我主讲的数学分析和高等几何这两门课程。尽管在知识量和难度上，这两门学科都有了相当大的提升，而且关于理论数学的研究也不可避免地涉及到了，但卡尔仍然一如既往地投入了大量的热情和精力去学习。以课程为依据的专门考试为卡尔的能力提供了总结性的证明的机会。结果，他证明了自己的能力——他能够熟练、系统地运用所学知识解答问题。
B·FR·斯巴尔特
第五学期，卡尔又选修了迈尔主讲的关于测量工具的课程，海斯曼主讲的矿物学术语和系统学，斯洛梅尔主讲的试剂和化学仪器的课程，以及斯巴尔特讲授的微积分。
在这个冬天，卡尔写了第一篇关于高等数学的论文。题目是斯巴尔特为他选出的，并且没有告诉卡尔最终曲线的名称，这样一来，关于这方面的任何信息，卡尔都找不到。然而，无论是谁看到他的这篇小论文，都会满怀喜悦地称赞。尤其是卡尔为机械曲线绘图而设计的测量工具，很多人特别喜欢，因为它们为卡尔极高的悟性、渊博的机械知识和出色的表达能力做了极好的证明。
在第六个学期，卡尔开始参加斯巴尔特的应用几何课程，迈尔的光和色彩的理论课程，并继续跟着海斯曼学习矿物学。除学习这些自然科学外，他还选修了韦尔斯主讲的法国文学。第七学期，他又向学习了海恩的政治史，并对古代史进行了复习。
在前一个夏天，斯巴尔特向我做了声明，说他已经不知道还有什么可以教给卡尔的了。我曾经想过让卡尔复习一下他所学的数学知识，但斯巴尔特坚持认为从数次的考试中看，对所有的知识，卡尔都已经熟练地掌握了，不需要再复习了，对于卡尔在高难度数学知识，尤其是高等数学上连续的学习，我也曾经表示过抗议，并且也反对过让一个年仅十一岁的孩子学习数学分析、高等几何和微积分的做法。但是，斯巴尔特坚持认为卡尔具有学好这些知识的足够能力和强烈愿望，因为“世上无难事，只怕有心人”。当时，我虽然同意了，但却是怀着极大的忧虑的，并且提出了两个附加条件：1、如果卡尔感到实在困难，他可以随时退出；2、对于课程的内容，如果卡尔没有完全理解，则可以忽略这个难点。斯巴尔特同意了我的条件。
然而事实证明我的那些担忧完全是多余的，斯巴尔特的做法相当正确。并且斯巴尔特对卡尔关爱真是如慈父一般，这一点更为重要。他说服高斯，让他下定决心对卡尔进行单独辅导。虽然高斯听说过卡尔，但在我的请求下，他还是非常谨慎地对卡尔进行了测试，之后，他断言：“即使是大学课程，甚至是单独的辅导也不能传授给卡尔什么知识了，但我可以给他推荐一些拉丁、意大利和法国作者写的书，对高等数学的分支学科，他们都有着非常独到的见解。他自己可以去体会一下。”我感到有些担忧，毕竟卡尔只有十三岁。“可是，教授，”我说，“这里面有许多他不能理解的内容！”“许多？不，也许只是一点点，我可以帮助他。”
事实证明了高斯的正确，里面几乎所有的内容，卡尔都弄懂了。对于盖诺林，他彻底地掌握了；有时，卡尔也会遇到一些晦涩难懂的内容，如泊松的“高等力学”中的几个段落——我个人认为是三个段落，高斯觉得应该反复的讲解这些内容，直到卡尔弄明白。卡尔的勤奋程度，连这个伟大的学者都是赞不绝口。
尽管斯巴尔特已经不教卡尔了，但他依然关心着他。“让他做自己喜欢做的事吧，”他曾经说，“我急切地想知道他会发现些什么。”然后，我对他透露了一个秘密，那就是卡尔正在写有关平面三角学的论文，但我让他一定要保守这个秘密，因为，由于受时间和条件的限制，还不能确定卡尔是否能完成这篇文章。听到这些，斯巴尔特显得非常高兴，他说，“只要他喜欢，就让他去做吧！”在论文完成时，他对论文进行了审查并对卡尔的成绩给予了肯定，但也发现了一些问题，卡尔对此非常感激并做了一些修改。我的儿子以前可能从未如此快乐、耐心地完成过这样的工作。
这篇论文于1815年发表，那时我们居住在海德尔堡。令我感到惊讶的是，很快我就发现斯巴尔特评价了这篇文章，在其中，他表现出的态度与以往截然相反。他的爱心消失了，留下的只有憎恨；善意的劝诫也不见了，代之以尖刻的批评；再也没有了对年轻人的仁慈的体谅(当时的卡尔只有十三岁半，而斯巴尔特却把他故意说成十六岁)，有的只是谴责和挖苦，甚至可以说是尖利的指责；对卡尔正直的评价以及赞美也变成了恶毒的歪曲。我们被他这种所作所为深深地伤害了，但是，他以往对我们的关怀，我们依然会牢记于心的。
此后，我们未来四年的补助金，国王陛下依然继续赐予，并高尚地允许我将它用在任何有益于卡尔的地方。为了收回在过去的七个月里被拖欠的款项，我们去了布伦瑞克，在那里，我们被引荐给了公爵，当时他正打算离开那儿。他和我们进行了很长时间的亲切交谈，在谈话中，他试图燃起卡尔去英格兰的愿望，并表示可以让卡尔认识一